На олимпиаде легких задач не бывает. Ищи изюминку!

Сегодня общеобразовательная школа ориентирована не только на усвоение определенной суммы знаний учащимися, но и на развитие личности, ее познавательных и творческих способностей. Наиболее эффективным средством развития, выявления способностей и интересов учащихся являются конкурсы и олимпиады разных уровней.

Утверждают, что математика дисциплинирует и развивает ум. Это явное преувеличение, но оно содержит зерно истины. Человек, искушенный в математике, как правило, даже не сознавая, использует методы математического мышления на каждом шагу, по любому поводу.
Важная особенность занимательной математики в том, что она побуждает к работе мысли. Как среди миллионов людей найти способных, талантливых гениев? Поиск одаренных личностей должен идти непрерывно, начиная со школы. Наиболее распространенной формой отбора одаренных детей являются математические олимпиады. Успешное выступление на олимпиаде предполагает: психологическую подготовку школьника к выполнению нестандартных заданий; математическую одаренность; умение собраться, сконцентрироваться на выполнение нескольких заданий за определенный промежуток времени; математическую грамотность участника, умение строго записать решение задачи; успешное овладение школьником изучаемых разделов математики.
Успех на олимпиаде связан не только со способностями, но и со знанием классических олимпиадных задач. Поэтому к олимпиаде надо серьезно готовиться.
Как я готовлю учащихся к олимпиадам? В домашнее задание включаю задачи, требующие нестандартного мышления. Провожу собеседование и предлагаю всем желающим заниматься решением задач во внеурочное время. Часто повторяю своим ученикам слова Д.Пойа: “Чтобы научиться решать задачи, надо их решать”. Уделяю внимание задачам динамического характера, когда одна задача берется в качестве основной и составляются подзадачи типа: подбери новые вопросы к условию, составь более общую задачу, сформулируй вопросы, которые раскрывают частные случаи и т.д. Стараюсь обучать общему подходу и основным методам решения задач: разбиению задачи на подзадачи; преобразованию задачи; кодированию объектов задачи; введению и построению вспомогательных элементов. Немаловажным моментом подготовки учащихся к олимпиадам и конкурсам по математике является формирование умения определять уровень сложности задачи для распределения времени на выполнение заданий конкурса. Определить примерный уровень сложности задачи можно по указанному к ней количеству баллов.
При подготовке учеников к олимпиадам и конкурсам по математике обращаю особое внимание на отработку основных направлений и разделов, таких как “Ребусы”, “Текстовые задачи”, “Делимость чисел”, “Планиметрия”, “Стереометрия”, “Уравнения”, “Задачи на переливание”, “Задачи на взвешивание”, “Логические задачи”, “Комбинаторные задачи”.
Из каждого направления и раздела я не рассматриваю случайную выборку задач, а стараюсь выделить основные темы, методы, способы. Так, например, в разделе “Делимость чисел” определены следующие основные темы: “Простые и составные числа”; “Признаки делимости на 2, 4, 8, 3, 9, 5, 10”; “НОД и НОК”; “Задачи с цифрами”; “Задачи с числами”; “Остатки”; “Арифметические ребусы”; “Дроби. Степень”; “Вычисления”.
Для развития интереса к решению нестандартных задач по математике в программу школьных занятий включаю рассмотрение занимательных задач, задач-шуток, софизмов, задач прикладного характера. Также для подготовки учеников использую дидактический материал предыдущих олимпиад, конкурсов по математике и математического конкурса “Кенгуру”.
Подготовку к олимпиадам осуществляю также на факультативных занятиях. Главной их целью является расширение и углубление знаний, развитие интереса учащихся к предмету, развитие их математических способностей. Процесс обучения строится как совместная исследовательская деятельность учащихся. Работа начинается с анализа условия задачи с целью поиска возможного способа решения, после этого идет сбор информации (понятий, методов, теорем), потом идет решение и проверка полученного решения.
При непосредственной подготовке учащихся к математическим конкурсам и олимпиадам по математике акцентирую внимание учащихся на следующих моментах:
— в качестве одной из задач конкурса любого уровня может быть задача, в условии которой фигурирует год проведения олимпиады;
— как правило, в числе конкурсных задач отсутствуют задачи с длительными выкладками, на использование трудно запоминающихся формул, на использование справочных таблиц, однако конкурсные задачи требуют нестандартного мышления и оригинального подхода;
— при оформлении конкурсной задачи необходимо помнить про тип задачи, если задачу требуется решить, то достаточно четкости в этапах решения с кратким обоснованием, а если это задача на доказательство, то необходимо доказывать утверждения с полным обоснованием, иначе неминуема частичная или даже полная потеря баллов;
— если в условии требуется указать все возможные способы решения задачи, то от полноты количества указанных способов зависит и количество полученных баллов;
— если в условии задачи фигурирует вопрос “Можно ли…?”, то для того чтобы доказать, что “можно”, достаточно привести всего один положительный пример, а для того чтобы ответить, что “нельзя”, необходимо рассмотреть все возможные случаи, обобщая их в стройное доказательство;
— необходимо изучить задачу на предмет применения наиболее рационального метода, ускоряющего решение для экономии времени на конкурсе (например, функциональный метод решения уравнений и неравенств).
Постоянно систематизирую и анализирую материалы олимпиад различного уровня.

Рекомендации участнику олимпиады:
1. Внимательно изучи текст предложенных задач.
2. Приступай к решению той задачи, которая кажется тебе более доступной.
3. Помни: на олимпиаде легких задач не бывает. Ищи изюминку!
4. Если задача вызывает трудности, попробуй упростить ее условие, посмотреть частные или предельные случаи.
5. Решили задачу — сразу оформляйте ее решение. Это поможет вам проверить логику и освободить мысли для других задач.
6. Если задача не получается, оставьте ее на время и переходите к другой.
7. Задача становится проще, если ее окружить родственными задачами.
Совершенствование системы подготовки учащихся к конкурсам, олимпиадам по математике может быть осуществлено по трем основным направлениям:
* систематическое проведение занятий во внеурочное время при активном привлечении учащихся к ним и доступности обучения;
* регулярное проведение школьных конкурсов и олимпиад на основе мотивированного содержания и разнообразных форм организации;
* сочетая в процессе подготовки к олимпиаде индивидуальную работу и работу в разновозрастных группах, предоставлять учащимся возможность соревноваться.

Рекомендации учителю по подготовке учащихся:
1. необходимо усилить теоретическую подготовку школьников по всем разделам математики;
2. при подготовке уделять особое внимание геометрическим нестандартным задачам, методу доказательства от противного и смешанным задачам (например, с комбинаторикой и теорией чисел);
3. усилить подготовку учащихся по внепрограммному материалу:
4. каждому учителю, прежде чем готовить учащегося к конкурсу, олимпиаде по математике, выработать свою педагогическую систему подготовки;
5. готовить учащихся методом изменения условий типовых задач;
6. на уроках и во внеурочное время прививать учащимся исследовательские навыки;
7. использовать возможности кружковой работы, факультативных занятий по математике для подготовки к решению конкурсных, олимпиадных задач;
8. на занятиях кружков разбираются подготовительные задания к предстоящему конкурсу, олимпиаде и задания, предложенные на прошлых конкурсах, олимпиадах;
9. отбор задач необходимо начать заблаговременно;
10. обычно это задачи, требующие для своего решения проявления смекалки, самостоятельной мысли, хорошего пространственного воображения, известных навыков к логическому мышлению, твердого, неформального знания основных понятий и методов школьного курса;
11. рекомендовать учащимся участвовать в различных заочных, дистанционных конкурсах.

Индивидуальная и групповая работа с учащимися по подготовке к математическим конкурсам, олимпиадам обычно начинается с участия в школьном состязании. Если школьные конкурс, олимпиада подразумевают участие только способных, одаренных по предмету учащихся, то, естественно, им необходима подготовка к этому туру, желательно самостоятельная, учитель со своей стороны может предоставить вспомогательную литературу и сборники задач для самостоятельного изучения. На данном этапе очень важно проверить собственные возможности и потенциал конкретного учащегося, а не заниматься с ним разбором нестандартных задач. Если школьный конкурс проводится для всех учащихся класса, чтобы возбудить их интерес к предмету через проверку собственных сил, то он является как раз отборочным, выявляющим туром, и подготовка всех учащихся к нему совсем необязательна, однако заблаговременно перед проведением конкурса, олимпиады необходимо предупредить учащихся, чтобы они имели возможность также самостоятельно подготовиться.
Основной же формой работы на занятиях группы будут различные формы индивидуальной и парной работы. Каждый ученик самостоятельно или с помощью учителя выбирает задачу соответствующего уровня, в случае необходимости консультируется и отчитывается по результатам ее решения, намечает задачи и теоретические вопросы для дополнительной работы дома. Старшие ученики могут, решая свои задачи, выступать также в роли консультантов и контролеров для младших. Учитель консультирует отдельных учеников или беседует с мини-группами, намечает перспективы и цели дальнейшей подготовки.
Большое внимание уделяется индивидуальной работе с учащимися: оказание ненавязчивой помощи некоторым ученикам в поисках путей решения задачи, в подготовке к математическим олимпиадам, в подборе литературы для рефератов и их письменном оформлении, в организации и осуществлении математического самообучения.
Основной формой является индивидуальная работа с учащимися, дифференцируемая с учетом познавательных интересов и потребностей и профессиональной ориентации каждого. Самостоятельная работа школьника на этом этапе работы носит поисково-исследовательский характер и требует творческих усилий. Учащиеся самостоятельно в течение сравнительно длительного срока решают задачи, сформулированные ими самими или выбранные из предложенных учителем. Помощь учителя заключается в проведении индивидуальных консультаций, в рекомендации соответствующей литературы, в организации обсуждения найденного учеником доказательства и т.п.

Что необходимо школьнику для успешного участия в интеллектуальном состязании? Учитывая особенности математики как естественной науки, можно выделить три составляющих такого успеха: развитый математический кругозор; умение решать нестандартные задачи, владение необходимым для этого математическим аппаратом; практические умения и навыки, знание основных приемов, способов решения математических задач. Эти ключевые моменты и определяют основные направления подготовки школьника.
Начинать организацию школьного олимпиадного движения по математике необходимо, по моему мнению, не со школьной олимпиады и даже не с работы предметного кружка, а прежде всего с психологической диагностики учащихся по выявлению их способностей по данному предмету.
Для учителя полученные данные нужны для эффективного применения индивидуального подхода к школьникам во внеурочной работе, корректировки своей работы, направленной на развитие интереса учащихся. В противном случае первоначальный интерес к математике, не получая подкрепления и развития, гаснет, и ученики прекращают посещать внеурочные мероприятия. Более того, они перестают самостоятельно заниматься математикой дома, фактически прекращают самообучение.
На следующем шаге необходимо организовать в каждом классе группу детей, желающих получать дополнительные знания и подготовку по предмету, при этом не забывая о том, что учащиеся, не посещающие занятий, являются резервом данного направления и также требуют к себе пристального внимания. При формировании групп помогут и наблюдения в ходе уроков, и организация кружковой, исследовательской работы, и проведение других внеклассных мероприятий по предмету. Имеет значение для оценки способности школьников и анализ их успеваемости по математике и другим естественнонаучным предметам.
Одновременно с выявлением школьников, интересующихся математикой, и формированием этого интереса должно происходить создание творческой группы, команды школьников, готовящихся к конкурсам, олимпиадам. Несмотря на то, что основной формой подготовки школьников к конкурсам, олимпиадам является индивидуальная работа, наличие такой команды имеет большое значение. Она позволяет реализовать взаимопомощь, передачу опыта участия в конкурсах, психологическую подготовку новых участников. Наличие группы школьников, увлеченных общим делом, служит своеобразным центром кристаллизации, привлекающим новых участников. Это позволяет также уменьшить нагрузку учителя, так как часть работы по подготовке младших могут взять на себя старшие, и, обучая других, они будут совершенствовать и свои знания. Наконец, в такой группе будет работать принцип соленого огурца (В.Ф.Шаталов): постоянно находясь в атмосфере решения проблем, методов решения задач, обсуждения, любой школьник будет даже неосознанно впитывать новые знания, умения, психологические установки.
При планировании работы с группой школьников следует избегать излишней заорганизованности. Учитывая разный возраст и разный уровень подготовки, оптимальным будет построение индивидуальных образовательных траекторий для каждого участника, причем ученику должна быть предоставлена и свобода выбора этой траектории. Отсюда вытекает свободное посещение и продолжительность занятий. Ученик может прийти на занятие, чтобы получить краткую консультацию и задание для индивидуальной работы, чтобы порешать задачи определенного типа, разобрать теоретический вопрос, полистать необходимую литературу, поработать за ПК, просто пообщаться. Но, несмотря на свободное посещение занятий, учитель вправе спросить ученика, что он сделал и собирается сделать сегодня? Сколько и каких задач решил за последнюю неделю? Какую математическую книгу прочитал и что извлек из нее? Похвалить старательного или заставить задуматься, растет ли ученик дальше или остановился в своем развитии, — вот задачи учителя. Разумеется, в беседах со школьником (и, в случае необходимости, с его родителями) учитель должен подчеркивать важность постоянной настойчивой работы для достижения серьезных жизненных интересов.
Хочется заметить, что наличие группы школьников не означает преобладания групповых форм работы. Такие формы должны быть краткими и наиболее интересными для всех присутствующих. Возможен разбор интересных большинству теоретических вопросов, задач. Интересным для всех может служить рассказ об итогах прошедшего конкурса, своеобразный самоотчет его участников.

Математические конкурсы, олимпиады имеют большое значение при решении ряда вопросов, относящихся к проблеме математического образования в общеобразовательных школах. Они пробуждают у детей интерес и любовь к предмету, учат их оригинально мыслить, принимать решения в сложных жизненных ситуациях. Поэтому проведение математических конкурсов, олимпиад и подготовка к ним через математические кружки, факультативные занятия и часы для дополнительной работы по математике должны привлекать детей своей индивидуальностью и интересными методами их проведения. Роль учителя в этом деле огромная. В первую очередь учитель обязан создать благоприятные условия для того, чтобы ученик смог постигать новое в интересующей его науке. С помощью знаний учителя, умением методически правильно поставить перед учеником задачу, посильную ученику, он добьется успеха.
Интерес ученика к получению знаний в той или иной области позволяет развить у него нестандартность мышления, что является очень актуальным на данном уровне развития общества. Умение логически нестандартно мыслить поможет учащемуся в дальнейшем занять достойное место в этом обществе.
Одним из главных аспектов успешности в решении нестандартных задач олимпиадного характера является применение к решению и доказательству исследовательского подхода, он обеспечивает более основательные и полные выводы. Таким образом, в подготовку учащихся к олимпиадным конкурсам необходимо вводить учебно-исследовательские задания по темам, обучать обобщению идей при решении задач исследовательского характера. Говоря о конкурсах, олимпиадах, следует отметить, что эта форма работы с учащимися является своеобразным итогом проделанной работы. Это соревнование, которое, несомненно, стимулирует рост учащихся, воспитывает у них математическое мышление, интерес к математике, настойчивость — желание не отстать от тех, кто успешно справляется с олимпиадным заданием. Часто именно участие в конкурсах и подготовка к ним побуждает учащихся к самостоятельной деятельности, вырабатывает умение работать с научно-популярной литературой, повышает мотивацию к изучению математики.
Систематическое и умелое использование различных форм на уроках и внеурочных занятиях, направленных на развитие логического мышления, расширяет математический кругозор учеников и позволяет более уверенно ориентироваться в самых простых закономерностях окружающей их действительности и активнее использовать математические знания в повседневной жизни.
Необходимо как можно больше включать в урок математики олимпиадных заданий, которые бы способствовали развитию логического мышления учеников на всех этапах учебной деятельности. Как показала практика, нестандартные задачи весьма полезны не только для уроков, но и для внеклассных занятий, для олимпиадных заданий, т.к. при этом открывается возможность по-настоящему дифференцировать результаты каждого участника. Такие задачи могут с успехом использоваться и в качестве индивидуальных заданий для тех учеников, которые легко и быстро справляются с основной частью самостоятельной работы на уроке, или для желающих в качестве дополнительных заданий.

Еженедельные олимпиады по математике в 7 классе
Еженедельные олимпиады — это внутриклассная олимпиада, проходящая в течение третьей четверти по следующей системе. Каждую неделю ученики решают дома 2-3 задачи. Итоги олимпиады подводятся постоянно.
Призы — это очень существенно для учащихся — книги по математике, грамоты, конфеты и др. Важно не пропустить каждый, пусть даже небольшой успех ученика. Итоги заносятся в специальную ведомость.
Поскольку конкурс решения задач — это не только олимпиада с призами, но и учебное задание, за решение задач конкурса ставится оценка, а в конце четверти подсчитывается средний балл, который влияет на годовую оценку. В результате ученик может повысить свой результат за участие в олимпиадах (для этого достаточно правильно решить хотя бы одну задачу), или за решение дополнительных задач.
Цель работы учителя не только научить решать конкретные задачи, но и помочь школьникам (и это главное) приобрести необходимый опыт и выработать собственную систему эвристических приемов, позволяющих решать незнакомые задачи. Последняя цель не может быть достигнута быстро. Ученику не следует помогать явно: он должен прилагать самостоятельные усилия.

Еженедельные олимпиадные задания по математике:
1 олимпиада:
1. Найдите удобным способом сумму чисел от 99 до 120.
2. Улитка за день проползает 3 метра вверх, а за ночь съезжает на 2 метра вниз. За сколько дней она доберется до вершины шеста, длиной 20 метров?
Ответы и решения:
1. Ответ: 3255.
Решение: найдем сумму 1 + 2 + … + 120, создавая пары с равными суммами. (1 + 120) + (2 + 119) + (3 + 118) +…+ (60 + 61). Получится 60 пар. Умножив 121 на 60, придем к промежуточному ответу 7260. Теперь найдем сумму чисел от 1 до 90: (1 + 90) ∙ 45 = 4095.
Тогда (1 + 2 +… + 120) – (1 + 2 + … + 90) = 7260 – 4095 = 3165.
Это сумма чисел от 91 до 120. Тогда 3165 + 90 = 3255 — искомая сумма.
2. Ответ: за 18 дней.
Решение: за 17 суток улитка поднимется на 17 м, за 18-й день она проползет еще 3 м и окажется на вершине.
2 олимпиада:
1. В нашем классе 30 учащихся. На экскурсию в музей ходили 23 ученика, в кино и в музей 6 человек, а 2 человека не ходили ни в кино, ни в музей. Сколько человек нашего класса ходили в кино?
2. После 7 стирок длина, ширина и толщина куска мыла уменьшилась вдвое. На сколько таких же стирок хватит оставшегося мыла?
Ответы и решения:
1. Ответ: 11 человек.
Решение: 30 – 2 = 28 — столько учащихся в классе ходили в кино или в музей либо и туда и туда.
23 – 6 = 17 — столько учащихся ходили только в музей;
28 – 17 = 11 — столько учащихся ходили в кино, среди них есть 6 человек, которые ходили и в музей.
2. Длина, ширина и толщина куска мыла уменьшилась вдвое, поэтому его объем уменьшился в 8 раз, т.е. за 7 стирок кусок мыла уменьшился на 7/8 своего объема (за одну стирку на 1/8 объема). Следовательно, оставшегося мыла хватит на одну стирку.
3 олимпиада:
1. АВС — прямоугольный треугольник с гипотенузой АВ. На прямой АВ по обе стороны от гипотенузы отложены отрезки АК = АС и ВМ = ВС. Найдите угол КСМ.
2. Гонцу надо было пробежать 24 мили. Две трети этого расстояния он бежал со средней скоростью 8 миль в час. Сможет ли он, увеличив скорость, пробежать остаток пути так, чтобы его средняя скорость на всем пути оказалась равной 12 миль в час?
Ответы и решения:
1. Ответ: 135°.
Решение. По теореме о внешнем угле треугольника сумма углов СКА и КСА равна углу САВ. Поскольку треугольник САК равнобедренный, то угол КСА равен углу СКА и равен половине угла САВ. Аналогично угол ВСМ равен ВМС и равен половине угла СВА. Таким образом, угол КСМ = КСА + АСВ + ВСМ = АСВ – (САВ + СВА) : 2 = 90° + 45° = 135°.
2. Нет, не может. Для того, чтобы средняя скорость гонца, пробежавшего 24 мили, была равна 12 милям в час, необходимо, чтобы он пробежал этот путь за 2 часа. Но из условия следует, что за два часа гонец пробежал только 16 миль.
4 олимпиада:
1. Из 24 кг молока получается 3 кг сливок.
Из 20 кг сливок получается 4 кг сливочного масла. А из 12 кг сливочного масла получается 9 кг топлёного масла. Сколько килограммов топлёного масла можно получить из 2400 кг молока?
2. Даны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. Разрешено к любым двум из них прибавить по единице. Можно ли за несколько шагов уравнять эти числа?
Ответы и решения:
1. Ответ: 45 кг.
Решение. Из 2400 кг молока получится 300 кг сливок, из 300 кг сливок выйдет 60 кг сливочного масла (300 : 20*4), а из 60 кг сливочного масла — 45 кг топлёного масла (60 : 12 * 9).
2. Ответ. Нельзя.
Решение. Прибавление к числу единицы меняет его чётность. Прибавление по 1 к двум числам меняет чётность двух чисел. Если это были два чётных числа, то чётных чисел станет на два меньше, если два нечётных, то чётных станет на два больше. А если одно было чётное, а другое нечётное, то количество чётных чисел не изменится. В любом случае чётность числа чётных чисел не изменится. Другими словами, здесь чётность числа чётных чисел — инвариант. Но, если в шестерке все числа станут одинаковые, чётных среди них станет 0 или 6 — чётное число.
5 олимпиада:
1. Крестьянка продавала яйца на рынке. Первый человек купил у нее половину яиц и еще пол-яйца.
Второй — половину остатка и еще пол-яйца. А третий купил последние 10 яиц. Сколько было яиц первоначально?
2. Четверо купцов заметили, что если они сложатся без первого, то соберут 90 рублей, без второго — 85, без третьего — 80, без четвертого — 75 рублей. Сколько у кого денег?
Ответы и решения:
1. Ответ: 43 яйца.
Решение. Начнем рассуждения с конечного действия. Вернем к десяти оставшимся яйцам пол-яйца и увеличим результат в 2 раза. Получим 21 яйцо, от которого второй покупатель купил половину и еще пол-яйца. Добавим к этому числу яиц половину яйца, увеличим результат вдвое, получим количество яиц, продававшееся на рынке с самого начала.
2. Ответ: 20, 25, 30, 35 рублей.
Решение: Всего денег у купцов (90 + 85 + 80 + 75) : 3 = 110 рублей. Поэтому у первого 110 – 90 = 20, у второго 110 – 85 = 25, у третьего 110 – 80 = 30, а четвертого 110 – 75 = 35 рублей.
6 олимпиада:
1. Решите уравнение: || х – 2014| –1| = 4.
2. В шахматном турнире участвовало 7 человек. Каждый шахматист сыграл с каждым по одной партии. Сколько партий было сыграно?
Ответы и решения:
1. Ответ: 2009; 2019.
Решение: х – 2014| –1 = 4 или |х – 2014| –1= – 4, |х – 2014| = 5 или | х – 2014| = –3
Второе уравнение не имеет корней, а решая первое, получим х = 2019 и х = 2009.
2. Ответ: 21 партия.
Решение. Каждый игрок сыграл 6 партий, т.е. всего сыграно 6 * 7 = 42 партии. При этом мы каждую партию считали дважды (в партии участвуют два игрока!), поэтому в турнире была сыграна 42 : 2 = 21 партия.
7 олимпиада:
1. Я иду от дома до школы 30 минут, а мой брат 40 минут. Через сколько минут я догоню брата, если он вышел из дома на 5 минут раньше меня?
2. Николай, уходя из дома к приятелю Петру, заметил, что его настенные часы стоят. Придя к Петру, он зафиксировал время своего прихода. Уходя от приятеля, Николай также заметил время и, возвратившись домой, правильно поставил свои часы. Как ему удалось это сделать? (Время, затраченное на дорогу Николаем туда и обратно, одно и то же).
Ответы и решения:
1. Брат выходит раньше на 5 минут и проходит за это время 1/8 часть пути до школы; за каждую минуту я прохожу 1/30 часть пути, брат 1/40 часть пути, следовательно, я догоняю брата на 1/30 – 1/40 =1/120 часть пути в минуту. Таким образом, я догоню брата через 1/8 :1/120 =15 минут.
2. Большинство учеников, решая эту задачу, довольно много усилий тратят на попытки вычислить время, потраченное Николаем на дорогу к Петру и обратно — в ситуации, когда часы Николая по-прежнему стоят. Увы, рассуждения в этом направлении ничего не дают.
Для решения задачи нужно догадаться, что Николай обязательно должен завести свои часы — пусть они идут, даже показывая неправильное время. Тогда он фиксирует по своим часам время выхода и время возвращения. Вычтя первое из второго, он получит полное время своего отсутствия, которое равно двум дорогам (туда и обратно) плюс время, проведенное в гостях.
Время, проведенное в гостях, Николаю легко вычислить — ведь он зафиксировал время прихода к Петру и время своего ухода. Поэтому, вычтя из времени своего отсутствия время пребывания в гостях и разделив результат на два, Николай легко получит время, потраченное на дорогу.
А для установки точного времени на домашних часах ему достаточно прибавить ко времени выхода от Петра продолжительность возвращения домой.

Мария АРХИПЕНКО,
учитель математики Годылевского детского сада — средней школы
Быховского района Могилевской области.